在光泵磁共振实验中，选择合适的射频频率、扫场幅度和外加水平磁场对实验的顺利进行和保证实验测量结果的精度有着重要作用。虽然已有很多文章探讨过相关问题，但并未明确提出关于上述实验参数选取的原则以及相应的参数取值范围。本文提出在光泵磁共振实验中，相关实验参数的选取应该使得在测量过程中能够观测到所有对应于三角波峰和波谷位置的共振信号并明确地区分信号来源。本文通过理论分析给出了不同测量方法下相应的实验参数取值范围，并通过实验测量验证了这些参数取值范围的合理性。

关键词 光泵磁共振；抽运信号；共振信号；扫场法；扫频法

Abstract In optical-pumping magnetic resonance experiments, it is important to choose the appropriate RF frequency, sweeping field amplitude and external horizontal magnetic field for the smooth progress of the experiment and the accuracy of the experimental results. Although there have been many studies discussing related issues, the principles of selecting the parameters and the corresponding range of parameters are sill lacking. In this study, we propose a rule for the parameter selection that all the resonance signals corresponding to the triangular peaks and valleys of the sweeping field should be observable, and the source of the signals should be distinguishable. By combining theoretical and experimental studies, we provide the requirements for the parameters selection in different measuring procedures and demonstrate their rationality.

光泵磁共振是近代物理实验中的一个重要实验[1-3]。通过将光抽运过程和射频磁共振结合起来，光泵磁共振可以在弱磁场环境下精确检测原子能级的超精细结构，并可以应用于精确测量磁场，如地磁场等[4-6]。作为一项近代物理实验，它包含了光学、电磁学等多方面内容。虽然实验原理和现象相对复杂，但当选择合适的实验参数时，实验结果可以呈现出非常好的规律性。通过参与实验，学生可以很好地加深对原子超精细结构、光跃迁和磁共振的理解。

为了计算 gF 因子，实验中通过观测对应于扫场三角波波峰和波谷位置的共振信号来确定相应的测量值。因此，观测到峰谷对应的 87Rb 和 85Rb 的共振信号以及如何区分这两个信号是实验的关键。目前，我校近代物理实验使用的 DH807 型光泵磁共振仪（北京大华无线电仪器厂）包含的测试样品为 87Rb 和 85Rb 混合物。这两种同位素不同的 gF 因子会产生两套共振信号。同时，样品的塞曼能级间距受外加水平磁场、地磁场和扫场三者共同影响。其中，地磁场的强度是未知的；仪器也没有提供扫场电流的读数，并且输出的扫场由纯扫场电流与一个直流分量叠加而成[7]。此外，实验用的射频信号发生器所产生的射频信号存在一定的畸变，导致实际的射频信号中存在倍频分量。当这些倍频分量的频率满足共振条件时，也会在系统中引起共振现象[8]。上述这些因素使得实验过程中会出现如下问题：抽运信号与共振信号同时存在；某些对应于峰谷位置的共振信号无法被观测到；不同来源的共振信号同时存在等。虽然已有不少文章探讨过相关问题，但并未明确提出射频频率、扫场幅度和外加水平磁场这些实验参数的选取原则以及相应的取值范围[9-19]。本文提出在光泵磁共振实验中，上述实验参数的选取原则应该使在共振测量中能够观测到所有出现在三角波波峰和波谷位置的 87Rb 和 85Rb 的共振信号并且这些共振信号能够按顺序出现。本文将通过理论分析和实验测量，给出满足这一原则的实验参数取值范围。

1 实验原理

在有外加磁场的情况下，利用有明确自旋角动量的圆偏振光（σ+ 或 σ-）可以激发处于不同塞曼能级上的电子。电子跃迁过程中受角动量守恒的限制，不同塞曼能级上的粒子数将会存在差别，大量电子会被抽运到某个特定能级上。当总磁场回到零点时，恢复简并的能级上的粒子会重新排布，同时样品对圆偏振光的吸收会增强。因此，通过扫场使总磁场在零点附近振荡可以观测到光抽运信号。而当总磁场远离零点时，利用射频信号也可以增强塞曼能级间的跃迁。当满足共振条件时，样品对圆偏振光的吸收也会增强。同样，通过扫场使总磁场在共振条件附近振荡时，将可以观测到磁共振信号。

样品的塞曼能级间距受总磁场影响。这里的总磁场包括实验中所加的水平磁场，为了观察信号所加的扫场，以及实验环境所固有的地磁场等。实验过程中，通过垂直磁场线圈产生的磁场可以有效地抵消地磁场的垂直分量。为了简便起见，以下讨论将默认垂直方向的磁场已被完全抵消，只需要考虑水平方向的磁场。因此，观测到光抽运和磁共振的条件分别表示为

Bt = Bex +Bs +BE = 0 (1)

hν = gF μB Bt (2)

其中 Bt 、Bex 、Bs 和 BE 分别为总的水平磁场、外加水平磁场、外加水平扫场和地磁场水平分量，ν 为射频信号的频率，gF 为样品的朗德因子，μB 为玻尔磁子。从上述式子可以看出，观测光抽运现象比较容易实现，只要扫场幅度大于外加水平场和地磁场水平分量之和即可。但是观测磁共振现象则需要外加水平场、扫场和射频频率三者互相配合。实验中，地磁场水平分量未知，加之现有仪器并不提供扫场幅度的直接读数，并且扫场输出存在直流分量，即 Bs = BsD + BsA。这里 BsD 和 BsA 分别是扫场信号中的直流分量和交流分量峰峰值的一半，且 BsD 总是略大于 BsA[7]。这使得实验中如何选取合适的外加水平场和射频频率等实验参数变得复杂。为此，首先需要初步测量 BsA 和 BsD +BE 的大小。

2 初步测量

为了获得 BsA 和 BsD +BE 的大小，可以充分利用光抽运现象及式(1)。首先，使扫场与地磁场水平分量方向相同，扫场波形选为三角波，并将扫场幅度旋钮调节到某一位置并固定（见本文第6节）。以下实验过程中，这一扫场幅度是固定不变的。外加水平场的方向设为与地磁场水平分量方向相反。由于 BsD >BsA 和 BE >0，外加水平场为零时示波器上观测不到光抽运信号。接着，缓慢增大反向的外加水平场。此时对应三角波谷的位置将逐渐出现光抽运信号。记录下对应波谷位置的光抽运信号最强时的外加水平场 Bex 1。此时继续增大外加水平场，光抽运信号峰值将不在三角波谷位置出现，而是一分为二分布在波谷的两侧，并随着外加水平场的增大相应地往两侧的三角波峰位置移动。记录下光抽运信号在三角波峰位置最强时所对应的外加水平场 Bex2，如图 1 所示，可以得出

表 1 给出了一组实验数值。这里需要强调的是，实验中实际测量的是通过线圈的电流 I，而讨论中为了简便起见，用的是相应电流产生的磁场。线圈中电流 I 与其产生的磁场 B 的关系为

，其中 N 和 r 分别为线圈的匝数和有效半径。通过系数 β 可以从电流计算出相应的磁场，如表 1 中，Bex1=βIex1，其余的参数类推。获得上述两个参数的值之后，以下将从不同的测量 gF 因子的方法来探讨具体实验过程中的参数取值范围。

3 扫场法测 gF 因子

为了满足共振条件式(2)，可以固定射频频率，通过改变总磁场的大小来实现。这种方法称为扫场法。

为了观察磁共振信号，首先必须使磁共振信号和光抽运信号分开。当水平场和扫场的方向都与地磁场水平分量相同时，要求三角波谷处的总磁场远离零点，即 Bt =Bex +BsD -BsA +BE >0。由于 BsD 始终大于 BsA，上式很容易得到满足。此时，为了能够观测到所有对应于三角波峰谷位置的共振信号，射频频率对应的能量需要大于扫场位于波峰处时样品中最小的塞曼能级间距，即

其中，Bex0 为外加水平磁场的固有零点偏移。例如本文所用仪器中外加水平磁场始终存在 0.018A 的零点偏移。根据表 1 的结果，式(5)要求 ν >540kHz。图 2 所示为射频频率 ν =460kHz，外加水平场为零情况下的共振信号。可以看到，此时 87Rb 共振信号已经分布在三角波峰位置两侧，如箭头所标记。实验中如果发现这一情况，可以增大射频频率以使其满足式(5)。这一过程中将观察到分布在三角波峰两侧的共振信号先回到三角波峰位置再消失。

由于三角波扫场信号和地磁场水平分量不是已知参数，为了计算 gF 因子，还需要通过水平场反向的方法将未知参数消去。将水平场反向并逐渐增大，可以观察到光抽运信号先出现再逐渐消失。由于射频频率满足式(5)，当反向的第一个共振信号在三角波谷位出现时，三角波峰位的总磁场必然满足 Bt =Bex -(BsD +BsA +BE )>0，即此时不会有光抽运信号。因此，满足式(5)的射频频率在水平场正向和反向两种情形下均可以有效地分开光抽运信号和磁共振信号，同时确保能观测到所有对应于三角波峰谷位置的共振信号。

为了提高测量的精度，在扫场过程中要避免 87Rb 和 85Rb 的信号同时在峰谷位置出现。除此之外，还需要使共振信号按照 87Rb 在前 85Rb 在后的顺序出现。此时，射频频率需要满足

根据表 1 的数据，式(6)要求 ν >480kHz。因此，当选取的射频频率同时满足式(5)和(6)时，在外加水平场正向情况下对应于三角波峰谷位置的共振信号将按照 87Rb(峰)、87Rb(谷)、85Rb(峰)和 85Rb(谷)的顺序出现（在这些信号之后会出现射频信号二倍频引起的信号）。在外加水平场反向情况下对应于三角波峰谷位置的共振信号则将按照 87Rb(谷)、87Rb(峰)、85Rb(谷)和 85Rb(峰)的顺序出现。

作为比较，表 2 和表 3 给出了射频频率分别为 ν =460kHz 和 ν =600kHz 情况下通过扫描外加水平场所观测到的对应于三角波峰谷位置的共振信号。很明显，当射频频率不同时满足式(5)和(6)时，水平场正向情况下无法观测到对应于三角波峰的 87Rb 的共振信号，且正反向中都发生了共振信号同时在峰和谷位出现的情况，对精确测量共振所对应的电流造成了影响。相反的，当 ν =600kHz 时，所有对应于三角波峰谷位置的共振信号均按照顺序出现，并且不存在同时出现的情况。

计算 gF 因子时，选取正反向中相同位置（峰-峰或者谷-谷）的共振信号所对应的外加水平场即可。例如，选取表 3 中 87Rb 在峰位的数据，可得

，相对误差为 0.6%。选取表 3 中 85Rb 在峰位的数据，可得

，相对误差为 0.4%。

4 扫频法测 gF 因子

为了满足式(2)，另一种方式是固定外加水平场，通过扫描射频信号频率的方式来完成。这种方法称为扫频法。相对于扫场法，扫频法不存在光抽运信号与磁共振信号共存的情况。通过调节外加水平场，总是可以使总磁场远离零点。

当外加水平场、扫场和地磁场水平分量同向时，将射频频率从高往低调节，可以依次观察到一系列共振信号。为了避免共振信号同时出现且使共振信号按照 87Rb 在前 85Rb 在后的顺序出现，要求出现在三角波谷处的 87Rb 的共振信号对应的射频频率大于出现在三角波峰处的 85Rb 的共振信号对应的射频频率，同时出现在三角波谷处的 85Rb 的共振信号对应的射频频率大于出现在三角波峰处由射频信号二倍频引起的 87Rb 的共振信号对应的射频频率。这要求外加水平场满足

Bex >7BsA -BsD -BE (7)

根据表 1 的数据，式(7)要求 Iex >0.111A。作为对比，表 4 给出了正向 Iex =0.08A 和 Iex =0.22A 时通过扫频法观测的共振信号。很明显，Iex =0.08A 时发生了射频信号二倍频引起的 87Rb 的共振信号在 85Rb 的共振信号之前出现的情况。相反的，Iex =0.22A 时，随着射频频率从高到低扫描，对应于三角波峰谷位置的共振信号按照 87Rb(峰)、87Rb(谷)、85Rb(峰) 和 85Rb(谷)的顺序出现。

扫频法也需要通过将外加水平场反向的方法来消除未知的扫场和地磁场水平分量。同样的，为了避免共振信号同时出现且使共振信号能够按照 87Rb 在前 85Rb 在后的顺序出现，类似于式(7)，反向外加水平场必须满足

Bex >7BsA +BsD +BE (8)

根据表 1 的数据，式(8)要求 Bex >0.335A。在此条件下，当射频频率从高到低扫描时，所测得的对应于三角波峰谷位置的共振信号将按照 87Rb(谷)、87Rb(峰)、85Rb(谷)和 85Rb(峰)的顺序出现。作为对比，表 5 给出了在外加水平场反向情形下 Iex =0.28A 和 Iex =0.38A 时通过扫频法获得的对应于三角波峰谷位置的共振信号。很明显，当 Iex =0.28A 时，87Rb 和 85Rb 的共振信号的出现顺序发生了颠倒。

此时，计算 gF 因子需要选取正反向中相同位置（峰-峰或者谷-谷）的共振信号所对应的射频频率 ν+ 和 ν-，由共振条件得：

，其中 Bex+ 和 Bex- 分别为正反向的外加水平磁场。例如，选取表 4 和表 5 中满足参数取值条件下的 87Rb 在峰位的数据，有

，相对误差为 1%。同样的，选取 85Rb 在峰位的数据，有

，相对误差为 1.1%。

5 利用线性拟合法测 gF 因子

由共振条件式(2)可知，除了扫场法和扫频法之外，还可以通过对同一个共振信号在不同磁场下对应的不同共振频率进行线性拟合来获得 gF 因子。这一方法不需要进行外加水平场的反向，并可以有效地减小误差。有两种方法可以获得共振信号对应的共振频率水平磁场数据。第一种方法是利用扫频来获得不同外加水平场下出现的一系列共振信号所对应的射频频率。在正向外加水平场的大小始终满足式(7)的情况下，所测得的对应于三角波峰谷位置的共振信号将始终按照 87Rb(峰)、87Rb(谷)、85Rb(峰)和 85Rb(谷)的顺序出现。原则上，只需要测两个正向水平场下的扫频数据即可。而实际操作中，通过在多个外加水平场下进行测量可以有效地减小误差。如图 3 所示，由峰位的 87Rb 数据拟合得到

，相对误差为 0.2%。由峰位的 85Rb 数据拟合得到

，相对误差为 0.1%。

第二种方法是选取不同的射频频率，利用扫场来获得一系列共振信号所对应的外加水平场。当选取的射频频率同时满足式(5)和(6)时，在外加水平场正向情况下对应于三角波峰谷位置的共振信号也将按照 87Rb(峰)、87Rb(谷)、85Rb(峰)和 85Rb(谷)的顺序出现。

6 扫场幅度的选取

在上述讨论中，对扫场幅度的取值并没有给出一个具体的数值要求。原因有以下两点：一、扫场幅度在这一系列设备中没法直接读取；二、扫场幅度可选取的范围较大。由于所有的共振信号都有一定的展宽，因此，扫场幅度不能选得太小。否则共振信号的区分度会降低，影响峰谷位置的读取而导致实验结果的误差变大。另一方面，扫场幅度也不宜选得太大。从上文讨论中可以发现，式(5)~(8)都与扫场幅度有关。虽然增大扫场幅度可以提高实验精度，但考虑到外加水平场和射频信号的设备都有相应的输出范围，为了能够观测到所有共振信号，扫场幅度的大小应该使得满足式(5)和式(6)的射频信号频率以及满足式(7)和式(8)的外加水平场都在相应设备允许的范围之内。结合以上两点，实验中可以先调节扫场幅度到设备输出量程的一半位置。根据式(3)~(8)得出实验参数范围。如果给出的参数范围超过了相应设备的量程，那么就将扫场幅度减小。重复这一步骤直到实验参数都得到满足为止。

7 结语

本文讨论了光泵磁共振实验中如何选取合适的外加水平磁场、扫场幅度和射频频率等实验参数以保证在通过磁共振测 gF 因子过程中能够观测到所有对应于三角波峰谷位置的共振信号以及区分共振信号来源。通过理论分析，提出了在不同测量方法下相应的实验参数的取值范围。本文还通过实验对比了不同取值情况下观测到的共振信号，验证了所提出的取值范围的合理性。

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基金项目: 国家自然科学基金(61804008)。

作者简介: 段俊熙，男，北京理工大学副研究员，主要从事教学科研工作，研究方向为低维材料，junxi.duan@bit.edu.cn。

引文格式: 段俊熙, 冯璐. 光泵磁共振实验中实验参数选取的探讨[J]. 物理与工程, 2022, 32(1): 136-142.

Cite this article: DUAN J X, FENG L. Research on experimental parameters in optical-pumping magnetic resonance experiments[J]. Physics and Engineering, 2022, 32(1): 136-142. (in Chinese)

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